If z = (x + 6y)e^(x+y), x = u, y = ln(v), find (∂z/∂u) and (∂z/∂v)?
The Correct Answer and Explanation is :
Para encontrar las derivadas parciales (\frac{\partial z}{\partial u}) y (\frac{\partial z}{\partial v}) de la función (z = (x + 6y)e^{(x+y)}) donde (x = u) y (y = \ln(v)), primero debemos expresar (z) en términos de las nuevas variables (u) y (v).
- Sustitución de variables:
Dado que (x = u) y (y = \ln(v)), podemos sustituir estas variables en la expresión de (z): [
z = (u + 6\ln(v)) e^{(u + \ln(v))}
] Simplificando la parte exponencial: [
e^{(u + \ln(v))} = e^u \cdot e^{\ln(v)} = e^u \cdot v
] Entonces, la expresión de (z) se convierte en: [
z = (u + 6\ln(v)) (e^u \cdot v) = v (u + 6\ln(v)) e^u
] - Cálculo de (\frac{\partial z}{\partial u}):
Para calcular (\frac{\partial z}{\partial u}), tratamos (v) como una constante: [
z = v (u + 6\ln(v)) e^u
] Aplicamos la regla del producto y la regla de la cadena: [
\frac{\partial z}{\partial u} = v e^u + v (u + 6\ln(v)) e^u = v e^u (1 + (u + 6\ln(v)))
] Simplificando, obtenemos: [
\frac{\partial z}{\partial u} = v e^u (u + 6\ln(v) + 1)
] - Cálculo de (\frac{\partial z}{\partial v}):
Ahora, para (\frac{\partial z}{\partial v}), consideramos a (u) constante: [
z = v (u + 6\ln(v)) e^u
] Usando la regla del producto y derivando (6\ln(v)): [
\frac{\partial z}{\partial v} = (u + 6\ln(v)) e^u + v \cdot \frac{6}{v} e^u
] Simplificando: [
\frac{\partial z}{\partial v} = (u + 6\ln(v)) e^u + 6 e^u = (u + 6\ln(v) + 6)e^u
]
Finalmente, las derivadas parciales son:
[
\frac{\partial z}{\partial u} = v e^u (u + 6\ln(v) + 1)
]
[
\frac{\partial z}{\partial v} = (u + 6\ln(v) + 6)e^u
]