El perímetro de un rectángulo mide 128 cm y la razón entre las medidas de sus lados es 5 a 3. Calcula el área del rectángulo. a) 960 2 b) 96 2 c) 128 2 d) 800 2
The Correct Answer and Explanation is:
La respuesta correcta es la a) 960 cm².
Explicación Detallada: Cálculo del Área de un Rectángulo
Para resolver este problema, debemos utilizar la información proporcionada —el perímetro y la razón entre los lados— para encontrar las dimensiones exactas del rectángulo (su base y su altura) y, posteriormente, calcular su área.
1. Comprender los Datos del Problema:
- Perímetro (P): Es la suma de la longitud de todos los lados del rectángulo. La fórmula es P = 2 × (base + altura). Se nos dice que P = 128 cm.
- Razón de los lados: La razón es de 5 a 3 (o 5:3). Esto no significa que los lados midan 5 cm y 3 cm, sino que sus longitudes mantienen esa proporción. Podemos representar las longitudes usando una constante de proporcionalidad, que llamaremos k.
- Lado más largo (base) = 5k
- Lado más corto (altura) = 3k
2. Plantear la Ecuación del Perímetro:
Ahora, sustituimos nuestras expresiones para la base y la altura en la fórmula del perímetro:
P = 2 × (base + altura)
128 = 2 × (5k + 3k)
3. Resolver para la Constante de Proporcionalidad (k):
El siguiente paso es resolver la ecuación para encontrar el valor de k, que nos permitirá conocer las medidas reales de los lados.
- Primero, sumamos los términos dentro del paréntesis:
128 = 2 × (8k) - Luego, multiplicamos:
128 = 16k - Finalmente, despejamos k dividiendo ambos lados por 16:
k = 128 / 16
k = 8
4. Calcular las Dimensiones del Rectángulo:
Con el valor de k = 8, ahora podemos encontrar las longitudes reales de la base y la altura:
- Base = 5k = 5 × 8 = 40 cm
- Altura = 3k = 3 × 8 = 24 cm
Para verificar, podemos comprobar si el perímetro es correcto: P = 2 × (40 + 24) = 2 × 64 = 128 cm. La verificación es exitosa.
5. Calcular el Área del Rectángulo:
El área (A) de un rectángulo se calcula multiplicando su base por su altura.
A = base × altura
A = 40 cm × 24 cm
A = 960 cm²
El área del rectángulo es de 960 centímetros cuadrados. Por lo tanto, la opción correcta es la a).thumb_upthumb_down
