HF 4 COMBINATORIEK - HF 4 COMBINATORIEK Bij vraagstukken inzake telp...

Practice makes perfect!1

HF 4 COMBINATORIEK

Bij vraagstukken inzake telproblemen is eigenlijk de eerste vraag altijd of de volgorde van belang is. Indien de volgorde van belang is heb je te maken met permutaties, als de volgorde niet van belang is met combinaties.

Voorbeeld ter verduidelijking:

Ik kies uit een HAVO 4 klas met 29 leerlingen een team van vijf personen voor een potje voetbal. Hier maakt de volgorde van kiezen niet uit. Stel dat je het team Arda, Berra, Wiktor, Mo en Kelly kiest. Dit is hetzelfde als het kiezen van het team Wiktor, Kelly, Mo, Arda en Berra. Hier is dus sprake van een combinatie.

Ik kies uit een HAVO 4 klas met 29 leerlingen een klassenraad van drie personen waarbij ieder een andere rol vervult, te weten: voorzitter, penningmeester en secretaris. Nu is volgorde wel van belang. Want als ik bijvoorbeeld Rizgar (voorzitter), Nathalie (penningmeester) en Tommy (secretaris) kies, is dit anders dan wanneer ik Nathalie (voorzitter), Tommy (penningmeester) en Rizgar (secretaris) kies. Hier is sprake van permutaties.

Het aantal permutaties van een groep is natuurlijk altijd groter dan het aantal combinaties.

Volgorde van belang (permutaties)

Het totaal aantal permutaties van een set wordt genoteerd met het teken ! (spreek uit faculteit).

Voorbeeld: ik wil alle 29 de leerlingen van HAVO 4 in een rij zetten zodat er een foto gemaakt kan worden. Op hoeveel manieren kan dit? Ik hoop dat je meteen ziet dat volgorde hier van belang is (want een rij die begint met Elijah, Irem, Salaheddine is een andere rij dan die begint met Hussain, Mohamed en Abderrahmane). We hebben dus inderdaad te maken met een permutatie en berekenen deze als volgt.

Aantal mogelijkheden 29!=29⋅28⋅27⋯3⋅2⋅1=8,84⋅10 !"

Op je rekenmachine reken je de faculteit van een getal als volgt uit (in dit voorbeeld dus 29!):

29 è math è PROB è 4 : !

Als in een opgave zaken staan zoals:

• er wordt een top 3 samengesteld
• er wordt een bestuur gekozen met een voorzitter, penningmeester, secretaris
• boeken/cd’s worden in een bepaalde volgorde gelegd op een plank
• ik zet leerlingen in een rij om een schoolfoto te maken

Dan is de volgorde van belang en heb je dus te maken met een permutatie.

• / 2

Practice makes perfect!2 In bovenstaand voorbeeld keken we naar de permutaties van de gehele klas, het kan ook zo zijn dat je maar een aantal uit een bepaalde populatie kiest. Ik kies bijvoorbeeld uit de klas van 29 leerlingen 4 leerlingen die een band moeten vormen met een lead singer, basgitarist, keyboard en drummer. Ook hier hoop ik dat je meteen ziet dat volgorde van belang is. Immers de keuze Genairo (lead singer), Alexander (basgitarist), Elanur (keyboard) en Ayman (drummer) is een hele andere band dan Ayman (lead singer), Elanur (basgitarist), Genairo (keyboard) en Alexander (drummer).

Het aantal mogelijkheden is dan:

Aantal mogelijkheden 29⋅28⋅27⋅26= 570.024

Op je rekenmachine reken je dit “deel” van de faculteit als volgt uit:

math è PROB è 2: nPr è 29 nPr 4

Het eerste getal geeft aan uit hoeveel je kiest en het tweede getal hoeveel je er kiest (in dit

geval: ik kies uit 29 leerlingen er 4).

Nog een voorbeeld.Aya heeft 4 RPG’s, 6 sport games en 8 first person shooters (FPS). Je zet deze op een plank.Op hoeveel manieren kan dit? Je ziet: volgorde maakt uit, dus permutaties:

4+6+8=18 →18!

Nu wat moeilijker. Op hoeveel manieren kan ik ze neerzetten als ik wil dat de FPS naast elkaar staan?

11!⋅8!=1,61⋅10

#$

Knap als je deze aan mij kunt uitleggen.

Met of zonder herhaling Wat je je bij opgaven ook moet realiseren is dat soms dezelfde persoon/getal/mogelijkheid nog een keer mee mag doen. Daarom is het ook altijd van belang om je af te vragen of er “herhaling” mag optreden. Bijvoorbeeld: Damian G. kiest een nieuwe pincode. Hoeveel pincodes van 4 cijfers zijn er mogelijk als een cijfer vaker mag voorkomen? Elke keer heb je keuze uit 10 cijfers, dus

Aantal mogelijkheden 10⋅10⋅10⋅10=10.000

Als herhaling is toegestaan en de volgorde is van belang (zoals in bovenstaand voorbeeld) spreek je van rangschikking met herhaling. Als je dan k elementen kiest uit een groep van n elementen bereken je het aantal mogelijkheden met 4 % .

Voorbeelden: Dean wil een code van 7 cijfers maken. Hoeveel mogelijkheden zijn er? Als

herhaling is toegestaan: 10

&

=10.000.000.

• / 2